Würfel und einbeschriebenes Oktaeder

Dieses Modell repräsentiert einen Würfel mit einem einbeschriebenen Oktaeder. Das Oktaeder wird wie folgt erzeugt:

Zunächst werden die Mittelpunkte der Seitenflächen des Würfels aus den Schnittpunkten der Diagonalen konstruiert (hier als Draht). Anschließend werden die Mittelpunkte jeweils benachbarter Seitenflächen miteinander verbunden (hier als rote Fäden). Der entstandene Körper ist ein Oktaeder mit demselben Schwerpunkt wie der Würfel.

Würde dieselbe Operation mit dem Oktaeder durchgeführt werden, erhielte man wiederum einen Würfel, der dem ursprünglichen Würfel geometrisch ähnlich ist. Daher werden Würfel und Oktaeder als dual zueinander bezeichnet.

Insgesamt gibt es unter den platonischen Körpern folgende duale Zusammenhänge:

• Hexaeder (Würfel) $\leftrightarrow$ Oktaeder
• Dodekaeder $\leftrightarrow$ Ikosaeder
• Tetraeder $\leftrightarrow$ Tetraeder (der Tetraeder ist also zu sich selbst dual)

Die Anzahl der Flächen entspricht jeweils der Anzahl der Ecken des Dualkörpers.

Text geschrieben von: André Sinna, Arne Hillmann und Sissy Freund