Rhombendreissigflach mit den Symmetrien der Ikosaedergruppe

Ein Rhombendreißigflach (auch Rhombentriakontaeder genannt) wird von 30 kongruenten Rhomben begrenzt, wobei der Winkel zwischen je zwei angrenzenden Rhomben 144° beträgt. Es hat 32 Ecken und 60 Kanten. Der duale Körper des Rhombendreißigflachs ist ein Ikosidodekaeder, das also 32 Seitenflächen und 60 Ecken hat, vgl. Modell 480 und 481.

Unter einer Symmetrie eines Körpers versteht man eine Bewegung des dreidimensionalen Raumes, bei der der Körper in sich übergeht. Die Ikosaedergruppe besteht aus 120 Symmetrien eines Ikosaeders. Die Symmetrien sind in diesem Falle Drehungen, Spiegelungen oder Drehspiegelungen des dreidimensionalen Raumes, bei denen das Ikosaeder in sich übergeht.

Duale Körper, wie Ikosaeder und Dodekaeder, haben dieselben Symmetrien. Ein archimedischer Körper (z. B. Ikosidodekaeder) hat dieselben Symmetrien, wie der platonische Körper (z. B. Ikosaeder), aus dem er entsteht. Da das Rhombentriakontaeder dual zum Ikosidodekaeder ist, hat es dieselben Symmetrien wie das Ikosaeder.

Das Rhombendreißigflach gehört zu den 13 Catalanischen Körpern. Die Seitenflächen eines Catalanischen Körpers sind alle kongruent, und die Winkel zwischen je zwei angrenzenden Seitenflächen sind gleich. Die Catalanischen Körper sind dual zu den 13 Archimedischen Körpern.