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Dodekaeder mit einbeschriebenem Dodekaederstumpf

Modell 479

Rubrik:
B II 184

Beschreibung

Dodekaeder (Draht) mit einbeschriebenem (20+12)-flächigem 60-Eck (braun), der Polarfigur des Triakisikosaeders.

Ergänzungen

Zum Dodekaeder:  Das Dodekaeder ist einer der fünf Platonischen Körper, vgl. Modell 402.

Zum einbeschriebenem (20+12)-flächigem 60-Eck: Der in das Dodekaeder einbeschriebene Körper ist ein Dodekaederstumpf. Er entsteht aus dem Dodekaeder durch gleichmäßiges Abschneiden der 20 Ecken. Durch das Abschneiden entstehen 20 neue Dreiecke und die bestehenden 12 Fünfecke werden zu 12 Zehnecken. Der Dodekaederstumpf wird also von den entstandenen

20 Dreiecken + 12 Zehnecken = 32 Flächen

begrenzt. Er hat 3 · 20 = 60 Ecken und 90 Kanten. An jeder Ecke stoßen jeweils ein Dreieck und zwei Zehnecke zusammen (3,10,10).

Der Dodekaederstumpf ist einer von insgesamt 13 archimedischen Körpern, siehe auch Modell 482.

Zum Triakisikosaeder: Der Dodekaederstumpf ist polar (dual) zum Triakisikosaeder. Um diesen neuen Körper zu erhalten, schreibt man eine Kugel in den Dodekaederstumpf so ein, dass die Kugel jede der 32 Flächen in genau einem Punkt berührt. Die Berührpunkte bilden dann die 32 Ecken des dualen Körpers. Verbindet man diese 32 Ecken, erhält man 60 Dreiecke, und diese bilden dann die Seitenflächen des Triakisikosaeder. Die Kantenanzahl bleibt beim Übergang zum dualen Körper gleich, während die Ecken- und Flächenanzahl getauscht werden.

 

In der Sammlung befinden sich 11 Archimedische Körper (siehe Tabelle).

472 Tetraederstumpf einbeschrieben in ein Tetrader
473 Oktaederstumpf einbeschrieben in ein Oktaeder
474
485
Kuboktaeder 474 einbeschrieben in ein Oktaeder
485 einbeschrieben in einen Würfel
475 Abgeschrägtes Hexaeder einbeschrieben in ein Oktaeder
476 Rhombenkuboktaeder einbeschrieben in einen Würfel
478 Ikosaederstumpf einbeschrieben in ein Ikosaeder
479 Dodekaederstumpf einbeschrieben in ein Dodekaeder
480
481
Ikosidodekaeder 480 einbeschrieben in ein Dodekaeder
481 einbeschrieben in ein Ikosaeder
482 Rhombenikosidodekaeder  
483 Abgeschrägtes Dodekaeder  
484 Hexaederstumpf einbeschrieben in einen Würfel

Nicht in der Sammlung befinden sich das große Rhombenikosidodekaeder und das verloren gegangene große Rhombenkuboktaeder.

 

Zum Schaukasten des Modells Kasten Nummer 20

Literatur

Heesch, H.. Comm.Math.Helv, 6, n=3, Fall 1c3, Fig.2..

Hess, E.(1883). Kugelteilung, Teubner, mit Figuren, §23, Fig. 11.