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Katenoid

Modell 195

Katenoid
Abmessungen:Konstrukteur:Rubrik:
20 × 0 × 14Anton von Braunmühl (1853-1908)E V 11-13; E III 5-7; E IV 1-3

Beschreibung

Katenoid (Rotationsfläche der Kettenlinie)

Ergänzungen

Dieses Modell repräsentiert ein Katenoid, gewonnen als Rotationskörper einer Kettenlinie, die durch eine an zwei Punkten hängende Kette beschrieben wird. Anschaulich kann man sich das Katenoid als die Fläche vorstellen, die ensteht wenn man einen Draht aus zwei parallelen konzentrischen Kreisen in Seifenlauge eintaucht. Es lässt sich durch folgende Formel parametrisieren: \[x(u,v)=c\cdot \cosh(\frac{v}{c}) \cos(u)\] \[y(u,v)= c\cdot \cosh(\frac{v}{c}) \sin(u)\] \[z(u,v)=v\ , \] wobei \(u,v \) reelle Parameter sind und \( c\neq 0\) eine reelle Konstante ist.

Jean Baptiste Meusnier zeigte im Jahr 1776, dass es sich bei dem Katenoid um eine Minimalfläche handelt. Eine Minimalfläche ist eine Fläche mit lokal kleinstmöglichem Flächeninhalt. Das Katenoid ist die einzige nicht-ebene minimale Rotationsfläche.

Das Katenoid gehört zu einer parametrischen Familie. Es kann durch eine stetige Deformation in das Helikoid überführt werden.

In der Natur und in der Architektur finden sich häufig Kettenlinien, zum Beispiel bei Spinnfäden oder in der Form des Gateway Archs in St. Louis.

Text geschrieben von: Claudia König und Kerstin Bever

Zum Schaukasten des Modells Kasten Nummer 39

Literatur

Schilling, Martin(Hrg.): Catalog mathematischer Modelle, Leipzig(Verlag von Martin Schilling) 1911, 7.Auflage, Nr.243. S. 147.

Separataband M4 im Mathematischen Institut S. 1.

Colding, M.(2011). A Course in Minimal Surfaces.

Eschenburg, J.(2007). Differentialgeometrie und Minimalflächen.